''המרובע ההווה מנקבץ הנמשכים''
שבת, 09/12/2006 שעה 0:08
בראשית המאה ה-‏14 פעל בצרפת ובארגוניה רבי לוי בן גרשון, הלא הוא הרלב''ג. דמותו בלטה עד מהרה בין גדולי הרוח של דודו משום שעיסוקיו חצו גבולות. הוא התפרנס מרפואה, אך עסק גם בדת, בפרשנות המקרא, בפילוסופיה, באסטרונומיה ובענפים רבים של המתמטיקה השימושית. ברם, למרות תרומתו הגדולה למדע בשני השטחים האחרונים כיום אין עוד רבים המכירים את שמו בהקשרים אלה. ''גרסונידס'', כפי שכונה על ידי האירופאים בני זמנו (ההטייה הלטינית של שם אביו גרשון מזכירה את הכינוי שקיבל הרמב''ם - הלא הוא ר' משה בן מימון - מיימונידס), היה פורץ דרכים שמן הראוי להכירו. ולא עוד, אלא שחלק מספריו תורגמו ללטינית ואינם ניתנים להשגה בשפה העברית שבה כתב במקור. אכן, הנה אתגר למתרגמים בני זמננו




אוי, הרבגוניות, הרבגוניות, לאן נעלמת? היכן הם האנציקלופדיסטים נוסח דידרו וד'אלמבר, אלה שעסקו בכל תחום בלי בושה ולא היססו לחקור בכל סוגיה שריתקה אותם ושראו לעצמם לכבוד להכיר מספר רב ככל האפשר של תחומים לעומקם. בעולם בו ההתמחויות הולכות ומתרבות והרב-תחומיות כמעט ונכחדה אלה חסרים כל כך.

דומה שגם רלב''ג היה אחד כזה. לרבים מאיתנו מוכר שמו משמות רחובות מסוימים בארץ ואולי ממשפט או שניים במהלך לימודי ההיסטוריה בבית הספר. אבל רלב''ג היה, ככל הנראה, אחד המדענים המבריקים ביותר בתקופתו, ויחד עם זאת רופא ואיש ספר, רב ופרשן, פילוסוף והוגה דעות. ההספק שלו בחמישים ושש שנות חייו דומה למה שרבים אחרים הספיקו בשתי תקופות חיים לפחות.





העובדה שהוא כמעט בלתי מוכר, נוסף על כך שהוא מוכר בעיקר בראשי התיבות של שמו (בישראל חיות כיום משפחות בשם רלב''ג המתגאות בייחוסן המגיע עד הרלב''ג עצמו), הרי שה''ר'' בראשיתן, המייצגת כמעט תמיד את התיבה ''רב'', יוצרת את הרושם הראשוני שמדובר בעוד אחד מרבני ימי הביניים. ובכן, רלב''ג אכן היה בעל סמיכה לרבנות, אבל מפעלו העיקרי הוא דווקא בתחום מדעי הטבע. ובכל זאת, שבע מאות שנים לאחר תקופתו עדיין ניתן למצוא במרבית האנציקלופדיות והלכסיקונים התייחסויות בעיקר לפרשנותו התורנית ולהתמודדותו עם סוגיות פילוסופיות. היו לו תרומות חשובות לוויכוחים בשאלות היסוד של הפילוסופיה כמו בעיית הבריאה, האחדות האלוהית, נבואה, ההשגחה, הישארות הנפש וכדומה. שיטתו הייתה שכלתנית מובהקת, ללא מוטיבים דתיים מובהקים, והיה בה מרכיב מכריע ליסוד האריסטוטליאני. חסדאי קרשקש, יוסף שם טוב, יצחק עראמה, יצחק אברבנאל, יהודה מוסקטו, יהודה מסר ליאון, מנשה בן ישראל – כל הרבנים החשובים הללו יצאו בשלב כזה או אחר נגד כתביו של רלב''ג בתחומים אלה.

לוי בן גרשון נולד בשנת 1288 בעיר באניול שבדרום צרפת. בנעוריו התמסר ללימודי תורה והלכה, אך טרם הגיע לשנות הבגרות הכניסו אביו גם לעובי הקורה של הבעיות המדעיות של הימים ההם. לימודי קודש ולימודי חול נתמזגו בחינוכו בהרמוניה שלמה. בימים ההם הייתה דרך זו של הוראה מנוגדת להשקפתם של רוב יהודי מערב אירופה. בשנת 1305 הוציא ר' שלמה בן אדרת (רשב''א), מגדולי הרבנים בספרד, תקנה שאסרה על יהודים שטרם הגיעו לגיל עשרים וחמש ללמוד מדעים חיצוניים, חוץ מרפואה. אלא שמשפחתו של לוי בן גרשון נמנתה על המיעוט שהתנגד להחרמת המדעים. מיעוט זה ישב בעיקר בפרובאנס, שם הייתה מלחמת הדעות שהתלקחה בעקבות הפילוסופיה של הרמב''ם חריפה פחות מבמקומות אחרים. לכן בסוף המאה ה-‏13, לאחר מאתיים שנות פריחה תרבותית ומדינית של יהדות ספרד, עדיין הייתה בפרובאנס מסירות לטיפוח המדעים. שם קמו כמה מגדולי הרוח בקרב היהודים ומחו נגד מחרימי המדעים. אחד מהם היה משה אבן תיבון, שתירגם לעברית את ה''יסודות'' של אוקלידס. אחר היה קלונמוס בן קלונימוס, שתרגם לעברית ספרי מדע ערביים חשובים, כגון חיבורי אבן סינא ואבן רושד. גם ר' גרשון, אבין של לוי, נמנה על חוגי המשכילים. לרוח חיבת המדעים ששררה בביתו הייתה השפעה רבה על לוי הצעיר, שהספיק לרכוש לעצמו ידיעות מקיפות במדעים חיצוניים קודם שהגיע לבגרות. את ידיעותיו רכש מתרגומים עבריים של ספרי מדע לועזיים, משום שידע לטינית שוטפת אך ידיעותיו בערבית היו קלושות. כשגדל ובגר, הסביר בספרו החשוב ''מלחמות השם'' את חשיבות התרגומים:

''הננו רואים שהמדעים התפשטו בקרב העמים כמו אריסטו, גלן ולתמי, מפני הדחיפה הנטועה באדם אחרי רכישת חכמה...מפני שהייתה תשוקת האדם בטבע להשגת חכמה, כי היא שלמותו והצלחתו, וישתדלו להעתיק אלו החכמות אל לשונם עד שיתפשטו בזה האופן בכל הלשונות''
(''מלחמות השם'', מאמר 6, פרק 15).
 
שער הספר ''מלחמות השם'', בפ פירט לוי בן גרשון חלק מהתאוריות המתמטיות שלו (מקור תמונה 3)
 

הערתו זו של לוי בן גרשון רומזת על העובדה שבתקופתו אפשר היה לקרוא בתרגום עברי יצירות מדעיות חשובות. רק מתוך הנחה זו אפשר להסביר כיצד הספיק בבחרותו למלא כרסו במדעי דורו, עד שידיעותיו שישו לו מקור ליצירות מדעיות חשובות. הספרות המדעית בלי ספק עשירה הייתה בתקופה ההיא.

ר' לוי בן גרשון - או רלב''ג, כפי שהוא מכונה בקיצור – בילה את רוב ימיו באוויניון, מקום מושבם של האפיפיורים אז. בתקופתו יצאו גזירות קשות על יהודי צרפת, אך חייו של רלב''ג עצמו היו שקטים למדי ולא סבלו מהתהפוכות הללו. כאזרח של עיר האפיפיור ניצל מהזוועות של גזירת הרועים ב-‏1320. את שנותיו האחרונות בילה בפרפיניאן, שהייתה שייכת לארגוניה, חבל ספרדי שבו חיו היהודים בשקט יחסי מאתיים שנים נוספות. ב-‏1344 הלך לעולמו.

ימי חייו של רלב''ג היו מוקדשים לרפואה, שממנה התפרנס, וללימוד תורה וחקר המדעים. הוא הושפע ביותר מגדולי המדע היהודים שחיו בימי הביניים, החל מר' אברהם בר חייא, עבור דרך ר' אברהם אבן עזרא וכלה, כמובן, בפילוסופיה של ר' משה בן מימון, הלא הוא הרמב''ם. בספריו מופיע רלב''ג כפילוסוף מובהק הדן בסוגיות שונות מתוך היגיון חד וקר בעל נטיות אריסטוטליאניות מובהקות.

אך רלב''ג לא חקר לא רק פילוסופיה במובנה המקובל אלא גם אסטרונומיה ומתמטיקה. יתר על כן, בעיני אומות העולם – בשונה מכפי שמקובל אצל היהודים - הוא ידוע יותר דווקא כאסטרונום וכמתמטיקאי מאשר כפילוסוף וכתיאולוג. פער זה מסביר מדוע כאשר הודפס ספרו החשוב ''מלחמות השם'' הושמטו ממנו 136 פרקים של החלק הראשון של המאמר החמישי, העוסק באסטרונומיה ובמתמטיקה, ובמקומו באה ההערה: ''החלק הראשון הוא מחוכמה התכונה וממה שהתבאר מספר המגסטי (הכוונה לספר ''אלמגסט'' של תלמי) וזה החלק ספר גדול בפני עצמו''. והנה דווקא בתוכן החלק הזה מצא האפיפיור חובב המדע קלמנס השישי עניין רב והורה לתרגמו ללטינית.

הישגיו של רלב''ג באסטרונומיה ובמתמטיקה הם רבגוניים מאוד. שמו נודע לתהילה כמחדש ומשכלל למכשיר המדידה ''מטה יעקב''. ''מטה יעקב'' הומצא, כנראה, על ידי היהודי יעקב בן מכיר. מכשיר זה בצורתו הפשוטה מכיל מקל ועליו לוח המאונך לו. הלוח יכול לנוע לאורכו של המקל. כשמקרבים לעין את קצה המקל כשהוא אופקי ומרחיקים או מקרבים את הלוח לעין עד שקצהו כמעט מסתיר את הכוכב אשר את רומו רוצים למדוד - יכולים לחשב את זווית הגובה על בסיס היחס של גודל הלוח למרחקו מן העין. החשוב שבין שכלוליו של רלב''ג הוא צירוף ''הלשכה האפלה'' (קאמרה אובסקורה) ל''מטה יעקב''. ''הלשכה האפלה'' היא תיבה, סגורה מכל צד, שאליה חודר אור דרך נקב קטנטן שבאחת מדפנותיה. המסתכל דרך הנקב אל תוך התיבה רואה על הדופן שמול הנקב תמונה אמיתית והפוכה של גוף הנמצא מחוץ לתיבה מול הדופן שבו נמצא הנקב. סגולה זו של ''הלשכה האפלה'' כבר הייתה, אמנם, ידועה לאוקלידס בתקופתו, אך רלב''ג היה הראשון שמצא לה שימוש מעשי. בעזרתה יכול היה להשוות את קוטר הירח לקוטר השמש ולמדוד את גודל ההתכסות בעת ליקוי החמה. ''הלשכה האפלה'' שימשה, אפוא, לרלב''ג, כמצלמה לכל דבר ועניין.
 
מטה יעקב: מכשיר מדידה ששוכלל על ידי רלב''ג (מקור תמונה 1)
 

על יסוד תצפיותיו השתדל רלב''ג גם להגיע לידי מסקנה חדשה בדבר גודלם היחסי של קוטר הארץ, הירח והשמש; הוא עסק גם בחישובי המרחקים של מסלולי כוכבי הלכת ביחס לארץ. רוב מסקנותיו בתחום האסטרונומיה כתובות במאמר החמישי של ''מלחמות השם'' ובהקדמה ל''לוחות התכונה''. בלוחות אלה מסומנים זמני מולד הלבנה. רלב''ג גילה גם שתקופת חודש ירח קצרה במעט מכפי שחושב עד אז.
 
קאמרה אובסקורה, או ''לשכה אפלה''. התוספת הייחודית של רלב''ג ל''מטה יעקב'' (מקור תמונה 2)
 

חיבתו של רלב''ג לאסטרונומיה הביאה אותו לשלבה אפילו בפירושיו לתורה.למשל, בפרושו לפרשת בראשית הוא מעיר כי אין ממש בהשערה שהארץ סובבת ואילו השמש והכוכבים קבועים במקומם, משום שאם כך היה היינו רואים את בקיעת השחר בנקודה אחת, קבועה בשמיים, ללא שינוי, ובנוסף לכך גם לא היה קורה שהכוכבים העולים עם שקיעת החמה ביום מסוים היו נראים למחרת היום מעל לאופק בעת שקיעת החמה. קושיה זו מבוססת על כל שהארץ מקיפה את השמש ואילו המישור שבו הארץ נעה נוטה בזווית של 23.5 מעלות מעל לקו המשווה. על אף טעות זו, שהייתה מקובלת בדורו, נחשב רלב''ג לאחד האסטרונומים הדגולים של ימי הביניים. דומני כי אחד מהרי הירח אף כונה ''רבי לוי'', לזכרו.

גדולתו של רלב''ג במתמטיקה אינה נופלת מגדולתו באסטרונומיה. רלב''ג הרחיב את המחקר המתמטי של הערבים, והעבירו לעולם הנוצרי באמצעות ספריו שנכתבו עברית על ידו ותורגמו ללטינית עוד בחייו. באופן כזה השפיעו חיבוריו השפעה רבה על התפתחות המתמטיקה באירופה. הוא עסק בענפים שונים של המתמטיקה. ספריו דנים בבעיות שבתחומי האריתמטיקה, הגיאומטריה והטריגונומטריה. חיבורו המתמטי החשוב ביותר, ''מעשה חושב'', מבוסס על ''יסודות'' של אוקלידס. חיבור זה מחולק לשניים, האחד עיוני והשני מעשי.

הקריאה בספר העברי הזה אינה קלה. המספרים מסומנים בו לפי הערך המספרי של האותיות העבריות, למעט חישובים מסוימים שבהם ייחס רלב''ג לאותיות עבריות ערך מעמדי, כלומר ערכה של כל אות תלוי במעמדה בצירוף הספרות-אותיות שבו היא מצויה (כמו ערך של ספרה התלוי במעמדה, כגון ה-‏2 ב-‏12 שערכה שתיים וה-‏2 ב-‏21 שערכה עשרים). רלב''ג השתמש באותיות א-ט במקום הספרות 1-9 והוסיף להן את האפס בצורתו המקובלת, שלה קרא בשם ''גלגל'' (כפי שכינה אותו כבר קודם לכן ר' אברהם אבן עזרא, שהיה הראשון שהשתמש בכתיב עברי כזה). יתר על כן, בימים שנחכתב ''מעשה חושב'' לא הייתה עוד מקובלת שיטת הנוסחאות בכתיב המקוצר שלה. במקום הנוסחה בא פירוש מילולי מסורבל. כך, למשל, דן רלב''ג בפרק העוסק בסוגיות אריתמטיות במשפט מתמטי שבימינו אנו רושמים אותו כך:
 
 

המשפט הזה, הכתוב בשפה אלגבראית סטנדרטית, מבטא את הכלל שלפיו סכום החזקות השלישיות של המספרים הטבעיים מ-‏1 עד n (n מסמן מספר שלם כלשהו) שווה לריבוע של סכום המספרים מ-‏1 עד המספר n. למש, אם n שווה 5, סכום המספרים מ-‏1 עד 5 שווה 15=1+2+3+4+5. והריבוע של 15 שווה 225=15X15. לפי המשפט הזה:
 
 

כיצד כותב ומבאר רלב''ג את המשפט הזה? שימו לב: ''המרובע ההווה מנקבץ הנמשכים מן האחד עד מספר מונח הנה הוא שווה אל המעוקבים ההווים מהנמשכים מן האחד עד המספר המונח, והיה הנקבץ א ב ג ד ה ואומר שמרובע ההוא מנקבץ א ב ג ד ה שווה למעוקב ההווים ממספרי א ב ג ד ה''. בשפה של בני אדם רגילים יש להחליף את המילה ''מרובע'' ב''ריבוע'', את ''נקבץ'' ב''סכום'' ואת ''מונח'' ב''נתון''.

זו היא רק דוגמה אחת למורכבותו של הטקסט ב''מעשה חושב''. אגב, בעיה כמו זו שתוארה עכשיו העסיקה גם מתמטיקאים שקדמו לרלב''ג. אבל פרק אחר בספר, זה הדן בתורת הצירופים, הוא מקורי בתכלית. תורת הצירופים עוסקת בבעיות הקשורות במספר האפשרויות בסידור עצמים שונים לפי תנאי שונים. המתמטיקאים לא עסקו כמעט בתורה זו עד המאה ה-‏17. רק אצל רלב''ג ניתן למצוא בעיות מסוג זה בצירוף פתרונן. רלב''ג הוא שקבע את הכלל לפתרון בעיות העוסקות במספרן של תמורות אפשריות. הכלל כתוב השפה קשה, אך תוכנו לזה הנלמד בבתי הספר (כלומר שמספר התמורות ב-n אלמנטים שווה למכפלת המספרים הטבעיים מ-‏1 עד n ומסומן בסימן קריאה אחרי המספר האחרון, כלומר עצרת). חיבור אחר של רלב''ג עסק בבעיית המספרים ההרמוניים. מסופר שפיליפ דה ויטרי, הבישוף של העיר מו שבצרפת, התעניין מאוד במוסיקה וביקש הוכחה של משפט מתמטי מסוג זה. רלב''ג נענה לבקשה ומסר לו את ההוכחה הדרושה. חיבורו זה של רלב''ג נשאר רק בכתב-יד לטיני.

אפס, ההיסטוריונים של המתמטיקה מעדיפים לציין את מחקריו של רלב''ג בתחומי הטריגונומטריה כחשובים יותר. בראשיתה הייתה הטריגונומטריה פרק באסטרונומיה. היא צמחה וגדלה מתוך הדרישה לפתרון בעיות אסטרונומיות. מכיוון שהאסטרונומיה עוסקת במשולשים שבכיפת השמיים, דהיינו על כדור, עסקו בתחילה בטריגונומטריה כדורית או ספירית, ורק לאחר מכן עברו אל חקר הטריגונומטריה של המישור, אם כי הראשונה מסובכת מהשנייה. בתקופתו של רלב''ג חי מלומד יהודי, אסטרונום בשם יצחק ישראל בן יוסף, שחיבר ספר אסטרונומיה ושמו ''יסוד עולם'', הדן גם בבעיות הטריגונומטריה, אך חיבורו של רלב''ג מקיף יותר ודן גם בבעיות שבטריגונומטריה המישורית. החיבור הזה תורגם ללטינית לפי פקודת האפיפיור ונפוץ מאוד בקרב חכמי אומות העולם.

ראשיתה של הטריגונומטריה קשורה בחישוב מיתרים. למשל, מה אורך המיתר שמול זווית נתונה במעגל כשקודקוד הזווית נמצא במרכז המעגל ואורך מחצית קוטרו שווה ליחידת המידה רדיוס. כך שתחילה מדדו את המיתרים שמול כל זווית וזווית מדודה. החל מתקופת תלמי עסקו מתמטיקאים רבים בסידור לוחות מיתרים שבהם רשומים מול כל זווית וזווית המיתר השייך לה. ההודים הכירו בכך שיש יתרון ליעילותם של לוחות שבהם לא נתון אורך המיתר אלא אורך מחצית המיתר מול מחצית הזווית. כך הגיעו למושג הסינוס של זווית מסוימת. הסינוס של הזווית ACB שקודקודה במרכז המעגל (שמחצית קוטרו שווה לרדיוס) שווה ל-AB שהוא חצי המיתר AD; לכן, אם AC שווה ל-‏1 ניתן לכתוב, כמקובל בטריגונומטריה: Sin ACB = AB.
 
 

רלב''ג חישב לוחות של סינוסים (כלומר חצאי מיתרים מול חצאי זוויות). הוא השתמש בלוחות אלה במחקריו המתמטיים. הוא קבע את הנוסחה היסודית שבטריגונומטריה, היא נוסחת הסינוס. לפי נוסחה זו בכל משולש יחסי הסינוסים של שתי זוויות שווים ליחסי הצלעות שממולם. ספרו של לוי בן גרשון היה הספר המתמטי האירופאי הראשון שבו נכלל המשפט החשוב הזה.

גם בגיאומטריה היו לו יד ורגל. את רעיונותיו ביטר בהקדמה שכתב לחמשת ספרי ''יסודות'' הראשונים של אוקלידס. במאמר זה הוא השתדל להוכיח את האכסיומות שעליהן ביסס אוקלידס את משפטי הגיאומטריה שלו. כידוע, כל משפט גיאומטרי מוכח על ידי משפטים שכבר הוכחו קודם לכן, אך בסופו נשארים משפטים חסרי הוכחה שלמרות שלא הוכחו איש אינו מפקפק באמיתותם, ואלה הן האכסיומות. הגיאומטריה של אוקלידס מושתתת על תריסר אכסיומות כאלו. המטרה שהציב לעצמו רלב''ג הייתה להוכיח גם את האכסיומות הללו, כלומר ליצור תורה גיאומטרית שאינה מבוססת על אכסיומות אלא אך ורק על משפטים מוכחים. כך, למשל, בחיבורו ''חכמת התשבורת'' (תשבורת=חישוב) השתדל רלב''ג להוכיח את האכסיומה האוקלידית שלפיה ''כל הזוויות הישרות שוות הן''. אך עניין רב יותר יש בדבריו על ''האכסיומהשל המקבילים''. לפי אכסיומה זו, אם נחתכים שני קווים ישרים על ידי קו ישר שלילי באופן שנוצרים זוגות זוגות של זוויות פנימיות, וזוג אחד ימינה או שמאלה מהקו השלישי החותך, כגון הזוויות א' וב' ובו סכומן פחות מ-‏1800, אזי שני הקווים הישרים (או המשכם) ייפגשו.
 
 

רלב''ג טען שאכסיומה זו אינה מובנת מאליה, והוא היה היחידי שבין המתמטיקאים בדורו שטען טענה זו. במאה ה-‏19 הגיעו כמה מתמטיקאים לאותה דעה עצמה אך הם נוכחו לדעת שמן הנמנע להוציא אכסיומה זו מסדרת האכסיומות, משום שהוצאתה לא תאפשר למצוא הוכחות למשפטים חשובים רבים. אך עלה בליבם רעיון אחר: להחליפה באכסיומה אחרת. וכך נבנתה גיאומטריה השונה לחלוטין מזו שאוקלידס הניח לה את יסודותיה. כך נוצרה, למשל, הגיאומטריה של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן, הקובעת שדרך נקודה הנמצאת מחוץ לישר נתון לא ניתן להעביר אף ישר שמקביל לישר הנתון. חשיבות עבודתו של רימן חרגה לימים מהתחום הגיאומטרי, כששימשה לתיאור העולם הפיסיקלי לפי עקרונות תורת היחסות של איינשטיין.





לו היה חי ר' לוי בן גרשון בימינו, קרוב לוודאי שהיה סופג קיתונות של רותחין מהמימסד החרדי הרואה ביהודי העוסק בתחומי המדע משהו בלתי מתקבל על הדעת. מצד שני, טוב לדעת שפעם היו יהודים שידעו לשלב בין התחומים ולא ראו בכל כל סתירה.





מרבית החומר על מחקריו המתמטיים של רלב''ג, כמו גם האיורים לו (במידה ולא מצוין אחרת), מקורו בסקירה מתוך ספרו של אליעזר שישא רב החובל יוחנן. הספר יצא לאור בהוצאת ''עם עובד'' בשנת 1960.




[פרסם תגובה חדשה]   [קישור ישיר למאמר זה]   [קפל תגובות]   [פרוס תגובות]            

 
תורה ודרך-ארץ   מיכאל אוישי   שבת, 09/12/2006 שעה 23:03   [הצג]   [437 תגובות]
אני עם מיכאל   קלמן   שבת, 09/12/2006 שעה 23:55   [הצג]   [4248 תגובות]
אמרת הגר''א מווילנא   מיכאל אוישי   יום ה', 14/12/2006 שעה 20:53   [הצג]   [3 תגובות]
נוע תנוע?   א אחיטוב   יום ב', 28/05/2007 שעה 17:13   [הצג]
מטה יעקב   אהרון בורג   שבת, 31/05/2008 שעה 17:51   [הצג]
[פרסם תגובה חדשה]   [קישור ישיר למאמר זה]  

מאמר אורח | צור קשר | על האתר | חזור לעמוד הראשי | קישורים | תנאי שימוש | אקסטרה | תיק העיתונות של אפלטון
RSS | כל הדיונים המתמשכים | ספר אורחים | עזרה טכנית | לוח ימי ההולדת של הבלוגוספירה | מקלדת וירטואלית | ארכיון | חפש באתר
האתר עוצב ע״י עופר ליכטמן
כל הזכויות שמורות לאורי קציר ©